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传世纪难题黎曼猜想已解 被指面临史诗级灾难

2018-09-22 03:16:31   来源:科技生活在线   评论:0   [收藏]   [评论]
导读:小编按:即使使用非常简化的语言来描述,黎曼猜想对没有一定数学基础的读者来说仍然不易理解。但是从这个猜想两次被列入“世纪难题”的范畴却仍然是“猜想”的事实,就不难想到它对数学家提出的挑战有多么严峻。

  英国著名数学家阿蒂亚(Michael Atiyah)将在9月24日在海德堡获奖者论坛的演讲中公布他对黎曼猜想的证明。阿蒂亚表示,他是基于冯·诺依曼、希策布鲁赫和狄拉克等人的成果,使用一种简单而全新的方法证明了黎曼猜想的。

  2018年会成为载入数学史的一年吗?也许我们真的有这样的机会,而答案将在9月24日揭晓。

  四年一届的国际数学家大会刚刚于今年8月在巴西召开并颁发了数学界最重要的奖项之一的菲尔兹奖,因此2018年原本对国际数学界而言就算是一个“大年”,这有些类似于同样在今年举办的俄罗斯世界杯对足球的意义。但是,就在大家觉得数学热潮已过并将目光转向即将公布的诺贝尔奖的时候,一条简短的新闻令众人的目光重新投向数学界——英国著名数学家迈克尔·阿蒂亚爵士(Michael Atiyah)将在9月24日于海德堡获奖者论坛(Heidelberg Laureate Forum)的演讲中公布他对黎曼猜想的证明。

  海德堡获奖者论坛创办于2013年,举办地是德国海德堡,每年举办一次,今年是第六届。这个论坛参照创立于1951年的林道会议(Lindau Meetings),希望提供一个数学及计算机科学大师与年轻科学家面对面交流的机会。今年的会议可谓大师云集,与会者包括十几位曾经获得过菲尔兹奖和计算机科学领域最高奖项图灵奖的著名学者,其中就包括阿蒂亚。

  阿蒂亚出生于1929年,现年89岁。他在数学的多个领域做出过杰出贡献,证明了阿蒂亚-辛格指标定理,曾先后获得过菲尔兹奖(1966年)和阿贝尔奖(2004年),并曾于1990年至1995年担任英国皇家学会主席,是当代最伟大的数学家之一。

  这场被安排在德国当地时间9月24日上午9:45-10:30的演讲因为阿蒂亚将公布对黎曼猜想的证明而引起全世界的关注。这样的关注,正是源自黎曼猜想在数学中举足轻重的意义。

  黎曼猜想以德国著名数学家波恩哈德·黎曼(Bernhard Riemann)的名字命名。1859年,他在一篇研究黎曼泽塔函数(Riemannzetafunction)的论文中提出了这个猜想。这个函数是一个复变量函数,就是变量和函数值都在复数域中取值的函数。简单地说,这个函数会在某些点上取值为0,而在这些点中,有些被称作是非平凡0点。黎曼在研究中发现,这些非平凡0点都分布在一条特殊的直线上,这条直线通过实轴上的点(1/2,0)并和虚轴平行,也就是说,这些非平凡0点的实数部分都是1/2。

  黎曼提出这个想法后并没有给出证明,这个想法也就停留在“猜想”阶段。从那时起,黎曼猜想就成为困扰数学界的难题,以至于在20世纪和21世纪这两个世纪开始的时候都被标记为“世纪难题”。

  1900年,伟大的数学家大卫·希尔伯特(David Hilbert)在巴黎的国际数学家大会上提出了23个未解决的重要数学问题。这些问题中有些在随后很短的时间内就得到解决,但有的问题却异常复杂,影响贯穿整个20世纪的数学研究,穷尽数学家一个世纪的努力都没有被解决,黎曼猜想就在其中。

  2000年,美国克雷数学研究所公布了一个包含7个尚未被解决的数学问题的“千禧年大奖难题”清单,成功解决其中任何一个问题的数学家都将获得100万美元的奖金。但是,迄今为止,7个问题中只有庞加莱猜想在2003年被俄罗斯数学家格里高利·佩雷尔曼(Grigori Perelman)解决,他也因此在2006年获得了菲尔兹奖。其余6个问题目前仍悬而未决,其中还包括黎曼猜想。

  即使使用非常简化的语言来描述,黎曼猜想对没有一定数学基础的读者来说仍然不易理解。但是从这个猜想两次被列入“世纪难题”的范畴却仍然是“猜想”的事实,就不难想到它对数学家提出的挑战有多么严峻。

  不过,虽然黎曼猜想并没有被证明,却不妨碍数学家使用黎曼的发现。目前已经有超过1000个数学命题是以黎曼猜想或者它的推广形式为基础,也就是说数学家在提出这些命题的时候,已经假定黎曼猜想成立。由此可见,黎曼猜想的证明也将最终夯实这些命题存在的根基。

  此外,从更大的视野上来看,在解决一些重要数学问题的过程中,数学家会提出一些新的数学方法。这些方法将会丰富数学家的研究手段,促进其他数学问题的解决,英国数学家安德鲁·怀尔斯(Andrew Wiles)解决费马大定理就是这样一个例子。而在将近160年的历史上,数学家在尝试证明黎曼猜想的过程中,也取得了类似的收获。

  阿蒂亚表示,他基于冯诺依曼(von Neumann)、希策布鲁赫(Hirzebruch)和狄拉克(Dirac)等人的研究成果,使用一种全新的方法对黎曼猜想给出一个简单的证明。在演讲开始之前,外界对这个证明的细节不得而知,所以究竟方法是如何“全新”、证明是怎样“简单”,我们只能拭目以待。(南方周末)
 

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  别开心得太早!“黎曼猜想”后面是史诗级灾难

  一、大神黎曼

  过直线外一点,可作其几条平行线?

  欧氏几何说,只能作一条;

  罗氏几何说,至少可以作两条(包括一组和无数)。

  黎曼慢悠悠地反问:谁知道平行线相交还是不相交呢?

  “平行线公理”的世纪之争,最终终结于黎曼。

  黎曼提出:过直线外一点,一条平行线也作不出来。(这是人话吗?)

  可基于黎曼几何得出的“无平行线”结论,最终成了广义相对论的数学帮手。

  广义相对论最初源于爱因斯坦意识到引力并不是一种力,而是时空几何弯曲的体现。

  物理直觉超于常人的爱因斯坦一直找不到数学工具来表达他的想法,如果没有数学支撑,直接说引力是时空弯曲效应,肯定会被吐槽成“物理是体育老师教的”。

  所以,直到他从数学界朋友了解到黎曼的“非欧几何”,才让广义相对论提早问世。当爱因斯坦得意地跟全世界说:如果没有我,50年内也不会出现广义相对论。

  这时候,能和爱因斯坦站在一起吹牛的,也只有数学大神黎曼了。

  二、黎曼猜想与裸奔的互联网

  “几何”一直是黎曼的主业,这又是一座深不可测的数学殿堂。

  但今天聊的不是他的主业,而是他在1859年“闲暇之余”随手丢下的一个猜想。

  这个猜想说的是:存在一个对素数分布规律有着决定性影响的黎曼ζ函数①非平凡零点②。

  关于这些点,容易证明它们都分布在一个带状区域上,黎曼认为它们的分布要比这个容易证明的结果齐整得多,他猜测它们全都位于该带状区域正中央的一条直线上。而这条被猜测为包含黎曼ζ函数所有非平凡零点的直线则被称为临界线。就这样,黎曼猜想正式被提出。

  讲人话,我们来看黎曼猜想到底长什么样纸!

  首先定义一个函数叫黎曼函数:

  ζ(s)= 1 + 1 / 2^s+ 1 / 3^s+ 1 / 4^s+……

  黎曼猜想指的是:黎曼函数所有非平凡零点的实部都是1/2。更通俗的数学表达式如下:

  ζ(s)= 1 + 1 / 2^s+ 1 / 3^s+ 1 / 4^s+……=0的所有非平凡解都在直线x=1/2上。

  怎么样!看懂了吧,如果还有疑问……那我也没辄了,我的智商有限。

  黎曼自己肯定没有想到,他所提出的这个猜想,足足折腾了数学家们159年。

  如果黎曼知道直到2018年我们还在纠结,一定会花点时间把证明写出来的。

  这件事情还得怪他的老师高斯,高斯的座右铭是“宁肯少些,但要成熟”的低调作风,这一点影响到黎曼,让他成为一个惜字如金的大神。

  他一生仅发表过10篇论文,但每篇论文都横跨各领域,是多领域的先锋开拓者,虽然不到40岁就去世,但仍然显示出不可一世的才华。

  1859年黎曼抛出的这个不朽谜题,就是想解决素数之秘。

  一旦素数之秘被解开,那么现在几乎所有互联网的加密方式将不再安全,变成一个裸奔的世界,因为我们主要的非对称加密包括RSA密钥加密等等,都是基于大数的分解。

  不仅仅是互联网,只要证明方法被公布,无需量子计算机,根据其原理甚至能破解现代银行的安全密码体系,看你还开心不开心!

  三、非对称加密算法和素数的关系

  那些担心自己的钱包和黎曼猜想的朋友们,我们再复习一下小学数学:

  小于20的素数有多少个?答案是有8个:2、3、5、7、11、13、17和19。小于1000的素数有多少个?小于100万呢?小于10亿的呢?

  观察素数表,你会发现素数数目是下降的,它们越来越稀疏。1和100之间有25个素数,401和500之间有17个,而901和1000之间只有14个。如果把素数列到100万,最后一个百数段(就是从999901到1000000)中只有8个素数。如果列到10 000亿,最后一个百数段中将只有4个素数。它们是,999 999 999 937,999 999 999 959 ,999 999 999 961,999 999 999 989。

  越到后面,素数的寻找越发艰难。

  这样,聪明的数学家们将素数应用在密码学上,因为人类还没有发现素数的规律,以它作密钥进行加密的话,破解者必须要进行大量运算,即使用最快的电子计算机,也会因求素数的过程时间太长而失去了破解的意义。

  现在普遍使用于各大银行的是RSA公钥加密算法 ,基于一个十分简单的素数事实:将两个大质数相乘十分容易,但是想要对其乘积进行因式分解却极其困难,因此可以将乘积公开作为加密密钥。

  黎曼猜想得到完全证明,很有可能派生出攻击RSA公钥加密算法的规律。

  一旦黎曼猜想得证,那么基于大素数分解的非对称加密算法可能就走到了尽头,私钥加密、签名也就失去了意义。

  当我们在为数学家开心的时候,也得小心那些寻找漏洞的黑客。

  四、黎曼ζ函数证明和量子幽灵有关吗?

  黎曼猜想的证明有那么难吗?在这里我不列出这些证明细节,只看看一路坎坷的证明历程:

  1、1896年,法国的哈达玛抵达猜想的三八临界线边缘——证明了黎曼ζ函数的非平凡零点只分布在带状区域的内部,并顺手干掉了刁难人类一百年的素数定理。

  2、1914年,丹麦的玻尔与德国的兰道触到了冰山一角,窥得了黎曼ζ函数的非平凡零点倾向于“紧密团结”在临界线的周围。

  3、英国的哈代副武装模式开启,直接将“红旗”插上了临界线——证明了黎曼ζ函数有无穷多个非平凡零点位于临界线上。

  4、1989年美国的康瑞又推翻了列文森的推论,重新开启了估算的新篇章,又证明了至少有40%的零点位于临界线上。

  ……

  然而谁也没能真正搞定黎曼猜想,数学上“无穷大”这只恶魔让再多数值证据都微不足道。

  没想到,有幸之年,我竟能亲身见证黎曼猜想被证明,若为真,实深感荣焉。

  就在最近,2018年9月20日,菲尔兹和阿贝尔奖双料得主迈克尔o阿蒂亚爵士宣称自己证明了黎曼猜想,要在9月24日海德堡获奖者论坛上向全世界公布证明。

  一听这消息,躲在深山老林的科学家们全炸了。

  黎曼猜想这次真的会被解决吗?作为数学奖最高得主,阿蒂亚爵士的确是这个时代顶尖数学家之一,但他都89岁了,会不会只是出来玩票……

  另外,阿蒂亚爵士还有点“嚣张”地声称证明并不复杂(毕竟这猜想还是苦了人类159年),是基于之前冯诺依曼、希策布鲁赫、狄拉克的工作。

  冯o诺依曼,计算机之父,以研究算子理论、量子理论闻名遐迩。

  希策布鲁赫,恕我孤陋寡闻,不知道他是干嘛的。

  狄拉克,预言了反物质的那个家伙,量子力学顶梁柱人物之一。

  一看,除去那个我不太熟悉的,此次证明恐与量子力学有着千丝万缕的关系。

  自20世纪以来,已有部分科学家注意到素数与量子物理之间存在联系。

  黎曼猜想中的素数行为,酷似量子力学中的“测不准原理”,虽然你可能不知道单个分子确切位置,但是你可以确定这个房间大致的分子分布,素数这难以捉摸的行为特别像量子幽灵掌握的微观世界。

  阿蒂亚若是借助量子力学这一工具来解决黎曼猜想也不是不可能。毕竟,数学中很多重大问题,都是建立在与其他数学分支跨界联系的基础上才被解决,比如费马大定理。

  而由量子理论所衍生而出的量子计算机,也早已被数学家证明能快速对大数进行质因数分解,基于“平行世界”的运算可轻而易举破解素数并颠覆密码系统。

  量子力学与素数的恋情,也许将在这一次揭开情人面纱。

  五、猜想将动摇数学大厦吗?

  各大行长躲在银行保险柜前瑟瑟发抖,不少黑客则潜伏敲着键盘蓄势待发。

  一旦证明方法得证无误,密码夹持着的无尽秘密有多少会不复存在。

  然而,黎曼猜想带来的危险不仅仅影响银行,更不仅仅是互联网,甚至可能动摇到一些数学根基。

  数学文献中已有超过一千条数学命题以黎曼猜想的成立为前提。如果黎曼猜想被证明,所有那些数学命题就全都可以荣升为定理;反之,如果黎曼猜想被否证,则那些数学命题中起码有一部分将成为陪葬品。

  那些建立在黎曼猜想上的推论,可谓是一座根基不稳、摇摇欲坠、令人惶恐不安的大厦。

  一个数学猜想与为数如此众多的数学命题有着密切关联,这是世上极为罕有的,也许正是因为这样的关系,黎曼猜想的名气和光环变得更加显著,也越发让人着迷。

  因而,此次黎曼猜想是否成功证明,将牵一发而动全身,直接影响以黎曼猜想作为前提的数学体系。

  六、危险的数学和逝去的“爱神”

  伯恩哈德o黎曼于1866年7月20日去世,离开这个世界时还不到40岁。

  天妒英才,这位与欧拉、高斯、伽罗瓦一样在数学上具有顶尖天赋的人物,可能因为其才华带来巨大危险,很快就被上帝唤回去打麻将了。

  他并没有意识到自己对这个世界的影响会如此深远,临走之前非常安宁,没有挣扎也没有临终痉挛,仿佛饶有兴趣地观看灵魂与肉体的分离。

  《素数之恋》一书谈到:他妻子给他拿来面包和酒,他要她把他的问候带给家里人,并对她说:“亲亲我们的孩子”。她为他诵读了主祷文,他的眼睛虔诚地向上仰望,几次喘息以后,他纯洁而高尚的心脏停止了跳动。

  他长眠在塞拉斯加教区比甘佐罗教堂的院子里,墓碑上的碑文是:

  这里安息着

  格奥尔格o弗里德里克o伯恩哈德o黎曼

  哥延根大学教授

  生于1826年9月17日,布雷斯伦茨

  卒于1866年7月20日,塞拉斯加

  万事都互相效力

  叫爱神的人得益处

  注释:

  ①ζ函数:(ζ-function)用来刻画系统周期点性态的函数。

  ②零点:设是定义在数域k上的函数,我们把方程f=0在数域k中的解称作f(在k中)的零点,所有零点构成的集合称作零点集。(腾讯科技)

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